ベクトル束に同伴する主ファイバー束の位相
をn次元可微分多様体，
をr次元ベクトル束，
(
はファイバー)とし，
とする．また
%5C%7D_%7B%5Calpha%5Cin%20A%7D.png)
を局所座標近傍系，.png)
に対し
とする．
を局所的切断とする．つまり 
局所標構場とするとき，)(%5Cmathbf%7Be%7D_j)%3De_j(x).png)
(
は標準基底)とする．ここで%5Cni%20%5Csigma_%7BU_%7B%5Calpha%7D%7D(x)%5Ccirc%20s%5Cmapsto%20(%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(x),s)%5Cin%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
とすると，全単射となる．
Proposition1
の部分集合 
が開集合であることを，)%20%7B%5C%20%5Crm%20is%5C%20open%5C%20in%5C%20%7D%20%5Cmathbf%7BR%7D%5En%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%5C%20%5Cforall%7B%5Calpha%7D%20.png)
と定義する．開集合全体を
とすると， は開集合系の公理を満たす．証明
任意のαに対して
)%3D%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
より
．
とすると，)%3D%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_1%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D))%5Ccap%20%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_2%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D)).png)
より
．
とすると%5Cbigg)%3D%5Cbigcup_%7B%5Clambda%5Cin%5CLambda%7D%5Ctilde%7B%5Cvarphi%7D_%7B%5Calpha%7D(O_%7B%5Clambda%7D%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D)).png)
よって
．[証明終]Propositon2
この位相で
は連続である．証明
Mの任意の開集合Vと任意のαに対して
%5Ccap%20%5Cpi%5E%7B-1%7D(U_%7B%5Calpha%7D))%3D(V%5Ccap%20U_%7B%5Calpha%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%20.png)
%5Cin%5Cmathcal%7BO%7D.png)
．したがって連続．[証明終]Propositon3
この位相で
は同相である．証明
位相の定義より明らか．[証明終]
Propositon4
はハウスドルフ空間である．証明
の相異なる二点 
をとる． %5Cneq%20%5Cpi(u_2).png)
のときは多様体がハウスドルフ空間であることから，開集合で分離される．%3D%20%5Cpi(u_2).png)
のときは が同相で，%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
がハウスドルフ空間であるから開集合で分離される．[証明終]Propositon5
のとき，%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D)%5Crightarrow%20%5Cvarphi_%7B%5Calpha%7D(U_%7B%5Calpha%7D%5Ccap%20U_%7B%5Cbeta%7D)%5Ctimes%20GL(r;%5Cmathbf%7BR%7D).png)
は微分可能である．
証明
とベクトル束の変換関数が微分可能であることから従う．[証明終]以上のPropositionより，ベクトル束Eに同伴するファイバー束Pは
多様体である． 
可測写像が与えられたもとでの条件付き期待値
Definition
.png)
を確率空間，.png)
を可測空間とする．
を可測写像，
を実確率変数とし可積分とする．このとき
%3D%5Cint_%7BY%5E%7B-1%7D(A)%7DXdP.png)
とすると，
は上の符号付き測度となる．また .png)
(像測度) とすると， は
に関して絶対連続となる．
よってRadon-Nykodim 導関数が存在し，それを
と表す．これをY = y が与えられれたときのX の
条件付き期待値(conditional expectation of X given Y = y) という．
Proposition 1
とすると， αは可測で
%5C%20%7B%5Crm%20a.s.%7D.png)
が成立する．
証明 任意の.png)
に対して，.png)
となるBが存在する．このとき変数変換と，定義より
)dP(%5Comega)%3D%5Cint_BE[X%7CY%3Dy]dP%5EY(y)%3D%5Cint_AE[X%7CY](%5Comega)dP(%5Comega).png)
<証明終>
Proposition 2
Proposition 1.2. 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の性質として以下が成立する．
(1)
(2)
を可積分な実確率変数，
に対して
(3)
ならば 
(4) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の単調収束定理が成立する．
(5) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のFatouの補題が成立する．
(6) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のルベーグ収束定理が成立する．
(7) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のJensenの不等式が成立する．
(8),
は独立とする．このとき
(9)
を有界な可測関数，
を実確率変数で可積分とする．このとき，Z%7CY%3Dy]%3Df(y)E[Z%7CY%3Dy]%5C%20P%5EY%7B%5Crm%20a.e.%7Dy.png)
証明 Proposition1 や普通の条件付き期待値の性質の証明と同様． <証明終>
を確率空間，を可測空間とする． を可測写像， を実確率変数とし可積分とする．このときとすると，
は上の符号付き測度となる．また (像測度) とすると， は に関して絶対連続となる．よってRadon-Nykodim 導関数が存在し，それを
と表す．これをY = y が与えられれたときのX の条件付き期待値(conditional expectation of X given Y = y) という．
Proposition 1
とすると， αは可測でが成立する．
証明 任意の
に対して， となるBが存在する．このとき変数変換と，定義より<証明終>
Proposition 2
Proposition 1.2. 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の性質として以下が成立する．
(1)
(2)
を可積分な実確率変数，に対して(3)
ならば (4) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値の単調収束定理が成立する．
(5) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のFatouの補題が成立する．
(6) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のルベーグ収束定理が成立する．
(7) 可測写像を与えたもとでの条件付き期待値のJensenの不等式が成立する．
(8)
,は独立とする．このとき(9)
を有界な可測関数， を実確率変数で可積分とする．このとき，証明 Proposition1 や普通の条件付き期待値の性質の証明と同様． <証明終>
class DL
からしゅれに右連続非負値submartingaleはclass DLであるという主張があって，同様に右連続martingaleもclass DLとなることが言える．
証明
a>0を固定し，%3D1.png)
となるstopping timeの族を
とする．定義より
が一様可積分であることを示せばよい．Jensenの不等式より
はsubmartingale. OSTより
は
可測なので，λ>0に対し
またチェビシェフの不等式より
%5Cleq%20%5Cfrac%7BE(%7CX_a%7C)%7D%7B%5Clambda%7D.png)
よって積分の絶対連続性より
これよりは一様可積分．（証明終）
Xが発展的可測のとき は可測だけど，からしゅれだとadaptedしか仮定していないのに大丈夫か？という疑問が起きた．けれど，右連続性からXはmeasurableで，さらにadaptedと右連続性から発展的可測がでるから，結局発展的可測を仮定しているのと同じことなので，問題なかった．というかもっと早くこの疑問を持つべきだった．あまり発展的可測は強い条件じゃないのかもしれない．
証明
a>0を固定し，
となるstopping timeの族をとする．定義よりが一様可積分であることを示せばよい．Jensenの不等式よりはsubmartingale. OSTよりは可測なので，λ>0に対しまたチェビシェフの不等式より
よって積分の絶対連続性より
これより
は一様可積分．（証明終）Xが発展的可測のとき
は可測だけど，からしゅれだとadaptedしか仮定していないのに大丈夫か？という疑問が起きた．けれど，右連続性からXはmeasurableで，さらにadaptedと右連続性から発展的可測がでるから，結局発展的可測を仮定しているのと同じことなので，問題なかった．というかもっと早くこの疑問を持つべきだった．あまり発展的可測は強い条件じゃないのかもしれない． 可分距離空間上のtightでない確率測度の例(つづき)
可分距離空間上のtightでない確率測度の例 でルベーグ外測度1，ルベーグ内測度0の集合の存在を認めたのですが，[0,1]の部分集合A,Bでdisjointかつともにルベーグ外測度が1であるようなルベーグ非可測集合の存在を教えていただきました．
詳しくは
ルベーグ非可測集合の例
を見ていただきたいと思います．
詳しくは
ルベーグ非可測集合の例
を見ていただきたいと思います．
共変微分と平行移動
を多様体Mの線形接続，
(IはRの開区間)とする．%5C%20(t_0,t%5Cin%20I).png)
を接空間%7DM.png)
から%7DM.png)
への写像で，.png)
は 
を 
に沿って平行移動したものとする．このとき に沿う共変微分は%3D%5Clim_%7Bt%5Cto%20t_0%7D%5Cfrac%7BP_%7Bt_0t%7D%5E%7B-1%7DV(t)-V(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D.png)
と表されることを示せ．という問題です．本によっては(野水，甘利など)平行移動から，上の式で曲線に沿う共変微分を定義しているみたいです．
[証明]
%3DP_%7Bt_0t%7D(%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)))%5Cin%20T_%7B%5Cgamma(t)%7DM.png)
と置くと，%7DM%5Clongrightarrow%20T_%7B%5Cgamma(t)%7DM.png)
は線形同型写像であるから .png)
は の基底である．%3D%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t)%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j(t).png)
とすると %3D%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t_0)%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j(t_0)%3DV%5Ej(t_0)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)).png)
(初期値)であるから-V(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D%26%3D%26%5Cbigg(%5Clim_%7Bt%5Cto%20t_0%7D%5Cfrac%7B%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t)-%5Ctilde%7BV%7D%5Ej(t_0)%7D%7Bt-t_0%7D%5Cbigg)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0))%5C%5C%0A%26%3D%26%5Cdot%7B%5Ctilde%7BV%7D%7D%5Ej(t_0)%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0)).png)
一方
%3D%5Cdot%7B%5Ctilde%7BV%7D%7D(%5Cgamma(t_0))%5Cpartial_j(%5Cgamma(t_0))%5C%20(D_t%5Ctilde%7B%5Cpartial%7D_j%3D0).png)
よって証明が終わる．
